निम्नलिखित में से कौन सा फलन x = 0 पर परिभाषि | vedclass

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Question

(D) एक फलन $f(x)$ में $x = a$ पर हटाने योग्य असांतत्य होता है यदि $\lim_{x 	o a} f(x)$ का अस्तित्व हो लेकिन वह $f(a)$ के बराबर न हो (या $f(a)$ अपरिभा

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उपरोक्त सभी

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(D) एक फलन $f(x)$ में $x = a$ पर हटाने योग्य असांतत्य होता है यदि $\lim_{x 	o a} f(x)$ का अस्तित्व हो लेकिन वह $f(a)$ के बराबर न हो (या $f(a)$ अपरिभाषित हो)।विकल्प $A$ के लिए: $\lim_{x 	o 0} \frac{1}{\ln |x|} = \frac{1}{-\infty} = 0$। चूंकि सीमा का अस्तित्व है,इसलिए इसमें हटाने योग्य असांतत्य है।विकल्प $B$ के लिए: $\lim_{x 	o 0^+} \cos \left( \frac{\sin x}{x} ight) = \cos(1)$ और $\lim_{x 	o 0^-} \cos \left( \frac{-\sin x}{x} ight) = \cos(-1) = \cos(1)$। चूंकि सीमा का अस्तित्व है,इसलिए इसमें हटाने योग्य असांतत्य है।विकल्प $C$ के लिए: $\lim_{x 	o 0} x \sin \left( \frac{\pi}{x} ight)$। चूंकि $|\sin(\pi/x)| \le 1$,स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,$\lim_{x 	o 0} x \sin \left( \frac{\pi}{x} ight) = 0$। चूंकि सीमा का अस्तित्व है,इसलिए इसमें हटाने योग्य असांतत्य है।अतः,सभी फलनों में $x = 0$ पर हटाने योग्य असांतत्य है।

निम्नलिखित में से कौन सा फलन $x = 0$ पर परिभाषित नहीं है और $x = 0$ पर हटाने योग्य असांतत्य (removable discontinuity) रखता है?

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$k$ का वह मान,जिसके लिए फलन $f(x) = \begin{cases} (\frac{4}{5})^{\frac{\tan 4x}{\tan 5x}}, & 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ k + \frac{2}{5}, & x = \frac{\pi}{2} \end{cases}$,$x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,है:

यदि $f(x) = \begin{cases} x^2 + \alpha, & x \ge 0 \\ 2\sqrt{x^2 + 1} + \beta, & x < 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है और $f(\frac{1}{2}) = 2$ है,तो $\alpha^2 + \beta^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{2 + \cos x} - 1}{(\pi - x)^2}, & x \neq \pi \\ k, & x = \pi \end{cases}$ बिंदु $x = \pi$ पर सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$f(x) = \begin{cases} \frac{x-4}{|x-4|} + a, & x < 4 \\ a + b, & x = 4 \\ \frac{x-4}{|x-4|} + b, & x > 4 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित फलन $x = 4$ पर सतत है,तो:

$f(x) = \begin{cases} x + 2, & \text{यदि } x < 0 \\ -x + 2, & \text{यदि } x > 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित फलन की सांतत्यता पर चर्चा कीजिए।

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